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在現(xiàn)實生活中，我們對紐結(jié)并不陌生，解開一個紐結(jié)幾乎是我們常常需要做的事，比如解開纏繞的電源線、耳機繩等等等等。然而從數(shù)學(xué)的角度看，解開紐結(jié)這一問題并不像看起來那么簡單，它涵蓋著許多復(fù)雜的抽象數(shù)學(xué)概念，涉及到高維空間中的幾何問題。

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紐結(jié)在數(shù)學(xué)上的定義是存在于三維空間中的簡單閉曲線。簡單來說，它指的是當(dāng)我們將一根繩子隨意打成結(jié)，然后再將成結(jié)后的繩子的兩端粘在一起，得到的就一個數(shù)學(xué)意義上的紐結(jié)。這意味著，它是一個閉合的、不能被解開成一個簡單的環(huán)的曲線。假如將這樣的紐結(jié)放置在桌面上，再從上向下俯視紐結(jié)，那么呈現(xiàn)在你眼前的就是紐結(jié)的平面投影。在數(shù)學(xué)中，這種具有多個交叉的圖形被稱為紐結(jié)圖。

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圖片 圖中所示為三葉形紐結(jié)的紐結(jié)圖。| 圖片素材來源：Marnanel / Wikipedia

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在數(shù)學(xué)概念中，無論一個紐結(jié)在乍看之下多么繁雜，只要它可以通過移動繩結(jié)而被解開成為一個簡單的環(huán)，那么就可以被稱為平凡紐結(jié)（unknot）。

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圖片 圖中所示的兩個復(fù)雜紐結(jié)都是平凡紐結(jié)，它們都可以最終被解開成為一個圓環(huán)。| 圖片素材來源：maths.ox.ac.uk

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一直以來，有這樣一個與平凡紐結(jié)有關(guān)的問題困擾著許多數(shù)學(xué)家，那就是對于任意一個給定的紐結(jié)圖，要如何確定它所代表的是否為平凡紐結(jié)。在近100年的時間里，許多數(shù)學(xué)家和計算機科學(xué)家都致力于尋找一個能夠有效用于判斷一個給定紐結(jié)是否為平凡紐結(jié)的算法。

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這個問題最早是由數(shù)學(xué)家馬克斯·德恩（Max Dehn）于1910年提出的；1954年，阿蘭·圖靈（Alan Turing）在《可解決的和不可解決的問題》一文中再次提到這個問題，在論文中，圖靈寫道：“目前還沒有系統(tǒng)的方法可以判斷兩個紐結(jié)是否相同?！?/p>

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直到1961年，德國數(shù)學(xué)家沃爾夫?qū)す希╓olfgang Haken）才為如何確定一個紐結(jié)是否是為平凡紐結(jié)提供了首個算法。在接下來的幾十年間，數(shù)學(xué)家通過使用各種各樣的技術(shù)，發(fā)展出了許多不同的算法來解決這個問題。然而，這些算法都有一個共同的問題，那就是當(dāng)紐結(jié)趨向于復(fù)雜，算法所需的計算時間會顯著增加。

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一個紐結(jié)的復(fù)雜程度由它所含有的交叉數(shù)（n）來決定。要判斷一個紐結(jié)是否為平凡紐結(jié)，其實所要判斷的就是這個紐結(jié)中的交叉數(shù)是否可以降至為0。對于已存在的算法來說，每當(dāng)一個給定的紐結(jié)的交叉數(shù)增加一個，判斷它是否是平凡紐結(jié)所需花費的時間就要翻倍。

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如此一來，這就留下了這樣一個問題：我們能在多項式時間（p(n)）內(nèi)解決平凡紐結(jié)的識別問題嗎？在這里，多項式時間意味著算法的運行時間可由多項式p(n)給出，而p(n)的大小取決于交叉數(shù)n的多少。近十年來，從事這類研究的數(shù)學(xué)家大多得出的結(jié)論是——平凡紐結(jié)的識別問題屬于NP類問題，即那些當(dāng)答案為“是”時，存在一個有效的證明來表明“答案為是”的問題。

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現(xiàn)在，牛津大學(xué)的數(shù)學(xué)家Marc Lackenby找到了一種算法，能比以往任何算法都更快判斷一個紐結(jié)是否為“平凡紐結(jié)”。這種算法可以在所謂的“準(zhǔn)多項式時間（quasi-polynomial time）”，判斷出一個交叉數(shù)為n的紐結(jié)圖所代表的的紐結(jié)是否是平凡紐結(jié)。

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Lackenby的算法依賴于使用分層（hierarchy）的概念來證明一個紐結(jié)是否為平凡紐結(jié)。這種算法可以在n^{c·log(n)}步之內(nèi)，判斷出一個有n個交叉點的紐結(jié)圖是否是平凡紐結(jié)。這里的c代表著準(zhǔn)多項式時間，它只比多項式時間稍慢一點，與之前的最好結(jié)果相比，是一次重大的進步。

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其實，研究一個紐結(jié)是否為平凡紐結(jié)的意義不僅在于滿足了數(shù)學(xué)家們的好奇心，它還有著許多非常實際且重要的應(yīng)用。例如在生物研究中，對紐結(jié)的理解可以幫助研究人員更好地了解DNA是如何在細(xì)胞內(nèi)纏繞的，再比如對一些包括流體、液晶、聚合物分子、蛋白質(zhì)等物理系統(tǒng)在內(nèi)的研究中，對紐結(jié)的性質(zhì)的更好理解也至關(guān)重要。

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#創(chuàng)作團隊：

文：佐佑

圖：雯雯子

#參考來源：

https://www.maths.ox.ac.uk/node/38304

https://www.newscientist.com/article/2266995-mathematician-makes-breakthrough-on-100-year-old-problem-about-knots/

http://people.maths.ox.ac.uk/lackenby/quasipolynomial-talk.pdf

#圖片來源：

封面圖：Clker-Free-Vector-Images / Pixabay


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