圓規(guī)和直尺是非常重要的作圖工具，僅使用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖的方法叫尺規(guī)作圖。尺規(guī)作圖來源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，利用尺規(guī)作圖方法可以作出很多基本圖形，但卻不能解決所有問題。被稱為“古希臘三大幾何問題”的三等分角問題、倍立方問題、化圓為方問題，便無法用尺規(guī)作圖的方法輕松解決。

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取一個任意角，作出其三等分線，即為三等分角問題。在尺規(guī)作圖中，將任意角二等分、四等分或八等分是容易解決的。畫一個任意角，以頂點O為圓心，取任意長度為半徑畫弧，任意角的兩條邊與弧相交于A、B兩點。再分別以A、B兩點為圓心，取相同且大于A、B間距一半的長度為半徑畫弧,兩段弧相交于點C。連接O、C兩點，直線OC即把這個任意角分成了二等分，如此反復(fù)下去即可得到四等分、八等分、十六等分等。偶數(shù)等分易得，但三等分卻不可得。

取一個任意大小的立方體,作出體積是它兩倍的立方體，即為倍立方問題。取一個任意大小的圓，作出面積和它相等的一個正方形，即為化圓為方問題。解析幾何的出現(xiàn)，為數(shù)學(xué)家提供了新的研究方法，最終證明了這三個幾何問題只利用尺規(guī)作圖不可解。

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坐標計算的帶入，讓幾何問題轉(zhuǎn)變成為代數(shù)問題。直線可視為一次方程，圓相當于二次方程，尺規(guī)作圖也就可歸納為一個二次方程組。數(shù)學(xué)家在對代數(shù)方程和抽象代數(shù)進行一系列研究后發(fā)現(xiàn)，從單位長度出發(fā)，尺規(guī)作圖可以作出的長度,恰好是自然數(shù)通過有限次四則運算和開平方能得到的所有數(shù)。

在三等分角問題中，若尺規(guī)作圖時假設(shè)給定了一個單位長度,那么作出任意一個確定的角，就相當于作出了這個角的正弦值。比如，通過尺規(guī)作圖可作出的角，是因角的正弦值可通過有限次四則運算和開平方得到。而角——也就是角的三等分角，正弦值卻無法通過有限次四則運算開平方得到，也就是說無法只用尺規(guī)作出角的三等分。由此可知，三等分角問題不可解。

在倍立方問題中，假設(shè)將這個任意立方體的棱長作為單位長度,那么體積是它兩倍的立方體的棱長為，此數(shù)不能通過有限次四則運算和開平方得到。由此可知，倍立方問題不可解。

在化圓為方問題中，假設(shè)任意圓的半徑為1個單位長度,其面積為，那么面積相同的圓的邊長即為。德國數(shù)學(xué)家林德曼早在1882年就證明了π是一個超越數(shù)。所謂超越數(shù)是指不滿足系數(shù)不全為零的整系數(shù)多項式方程的數(shù)，也就是說超越數(shù)不能通過有限次四則運算和開平方得到。由此可知，化圓為方問題也不可解。

然而人們在研究這些問題時發(fā)現(xiàn)，只要更改了古希臘尺規(guī)作圖的一點條件，這三大問題就不那么困難了。阿基米德曾在直尺上做了一個記號，使得直尺實際具備了刻度功能，解決了三等分角的問題。

即使這三大問題被代數(shù)證明僅用尺規(guī)作圖不可能解決，但是這并不妨礙我們?nèi)L試研究。在研究三大幾何問題的過程中，數(shù)學(xué)家開創(chuàng)了對圓錐曲線的研究、發(fā)現(xiàn)了尺規(guī)作圖的判別準則等，這些問題要比三大幾何難題本身更有意義。

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本文由中國人民大學(xué)附屬中學(xué)第二分校一級教師秦薇進行科學(xué)性把關(guān)。

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