?

自從萊布尼茨和牛頓發(fā)展了微積分，科學(xué)界和所有學(xué)科就不一樣了。從物理學(xué)和工程學(xué)到生物學(xué)和數(shù)學(xué)，微積分作為一種尋找真理不可或缺的工具滲透到現(xiàn)代科學(xué)的方方面面。然而，看待這個(gè)問(wèn)題有不同的方法。從物理和實(shí)踐的角度來(lái)看，它與變化率的概念有關(guān)，通過(guò)用微分方程的形式寫(xiě)下來(lái)的定律可以應(yīng)用于物理學(xué)。

從純數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，我們有幾種看待它的方法。對(duì)一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)可以看作是函數(shù)空間到另一個(gè)空間的變換。這個(gè)變換是一種d/dx的映射，具有以下兩個(gè)重要性質(zhì)：

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這些性質(zhì)統(tǒng)稱(chēng)為線性。同理，實(shí)函數(shù)f(x) = kx，其中k是實(shí)數(shù)，也滿足上述的線性條件：

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它也與線性代數(shù)中的線性變換有相似之處，其中研究對(duì)象是向量空間之間的線性變換，例如矩陣。矩陣也滿足線性條件。第一個(gè)性質(zhì)非常重要，它保留了函數(shù)空間關(guān)于加法運(yùn)算的結(jié)構(gòu)。這就像一本介于兩個(gè)世界之間的字典。將加法結(jié)構(gòu)從一個(gè)世界轉(zhuǎn)換到另一個(gè)世界。這種函數(shù)稱(chēng)為同態(tài)。

在本文中，我們將定義另一種運(yùn)算符。函數(shù)空間之間的變換，不是類(lèi)似于上面的線性函數(shù)，而是類(lèi)似于對(duì)數(shù)函數(shù)。我們還將推導(dǎo)出與上面定義的微分算子類(lèi)似的各種規(guī)則，如乘積規(guī)則、鏈?zhǔn)揭?guī)則等。結(jié)果證明，我們的算子也表現(xiàn)出同態(tài)行為，但從一個(gè)乘性函數(shù)空間到一個(gè)加性函數(shù)空間。

我所討論的運(yùn)算符叫做對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)，由以下定義：

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在使用這個(gè)運(yùn)算符之前，讓我們先說(shuō)明它的一些好的性質(zhì)。一個(gè)很自然的問(wèn)題是它對(duì)常數(shù)有什么影響。顯而易見(jiàn)：

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因?yàn)樗^承了正規(guī)微分算子。最重要的性質(zhì)是：

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你可以用定義和通常的微分規(guī)則來(lái)證明。當(dāng)一個(gè)常數(shù)乘以一個(gè)函數(shù)時(shí)，當(dāng)我們對(duì)它進(jìn)行對(duì)數(shù)微分時(shí)這個(gè)常數(shù)就消失了。

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這也意味著我們可以在操作符參數(shù)中改變函數(shù)之間減法的順序。

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現(xiàn)在我們來(lái)說(shuō)明這個(gè)算子的鏈?zhǔn)椒▌t。

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推導(dǎo)過(guò)程很簡(jiǎn)單。

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它很像微分算子的鏈?zhǔn)椒▌t。我們還有冪法則：

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特別地，我們有以下兩個(gè)有用的公式：

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在這一點(diǎn)上，你可能想知道這個(gè)算子的特征函數(shù)是什么。對(duì)于對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)，結(jié)果是：

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但是對(duì)于對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)，事實(shí)證明：

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對(duì)于所有常數(shù)c，使這些函數(shù)成為函數(shù)空間中的特征元素，我們定義了運(yùn)算符。現(xiàn)在我們的工具箱里有了對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的一些規(guī)則，讓我們使用它們。我們先求正弦函數(shù)的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)。利用該定義，我們很快得到：

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你們可能還記得sin函數(shù)可以寫(xiě)成：

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現(xiàn)在，利用上面的規(guī)則我們可以把無(wú)窮積變換成一個(gè)級(jí)數(shù)，通過(guò)對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)，我們得到：

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我們已經(jīng)使用了上面定義的一些規(guī)則。分別是冪法則，乘積求和，交換減法，消失常數(shù)和鏈?zhǔn)椒▌t。從技術(shù)上講，我們需要一個(gè)論證來(lái)確保乘積求和法則對(duì)無(wú)窮乘積也成立。事實(shí)證明，下面這些就足夠了。

我會(huì)先陳述，然后再解釋。

• 乘積中的因子必須是復(fù)平面的開(kāi)子集D上的全純因子
• D上沒(méi)有一個(gè)因子等于0
• 乘積局部一致收斂于函數(shù)f

如果這些條件成立，那么我們通過(guò)對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)得到的對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)在下面的集合上局部一致收斂。

?

這里的反斜杠表示集差。這是什么意思?

首先，復(fù)函數(shù)是全純的，這意味著它是“復(fù)可微的”。這是一個(gè)比實(shí)數(shù)微分更強(qiáng)的要。求事實(shí)上，如果一個(gè)復(fù)函數(shù)是可微的那么它就無(wú)限次可微，這意味著它是解析的。對(duì)于一般的實(shí)際函數(shù)來(lái)說(shuō)，這是不正確的。

D上的因子不等于零就意味著它沒(méi)有將開(kāi)集映射為零。所以非正式地說(shuō)，一個(gè)全純函數(shù)在它的定義域的任意小子集中具有全局信息。上面的恒等定理是非常重要的，它被用于證明一些解析函數(shù)有解析延拓這一事實(shí)。

如果我們回到得到的級(jí)數(shù)，如果沒(méi)有π在分母上就好了，但是替換和乘法用一種更著名的形式揭示了這個(gè)恒等式，也就是：

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萊昂哈德·歐拉是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)這個(gè)級(jí)數(shù)的人。他還用了無(wú)窮積表示正弦函數(shù)。利用這個(gè)算子的規(guī)則，我們可以從無(wú)窮積中找到很多其他的級(jí)數(shù)。



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