圖1 三能級量子系統(tǒng)的聯(lián)合數(shù)值域實驗觀測結果。（a-h）分別為8類不同的三能級量子系統(tǒng)態(tài)空間投影結果，也即聯(lián)合數(shù)值域。紅色點代表實驗數(shù)據(jù)點，e和s分別刻畫了幾何體表面的橢圓面數(shù)量及線段數(shù)量。

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圖2 8類具有不同幾何特征的可觀測量組成對應系統(tǒng)哈密頓量的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)能級結構圖。

近日，南京大學現(xiàn)代工程與應用科學學院教授張利劍課題組與香港科技大學教授曾蓓、美國愛荷華州立大學教授潘耀東、香港理工大學教授施能圣等合作，首次在實驗上對三能級量子系統(tǒng)幾何特性進行了完整觀測。研究成果發(fā)表于《物理評論快報》。

幾何是人們理解物理世界的一種重要方法。隨著量子物理學的發(fā)展，幾何方法已成為觀測量子系統(tǒng)非經(jīng)典行為和奇異特性的工具，因此對量子系統(tǒng)的幾何特性的研究，無論是對量子力學基礎研究還是量子信息處理應用都具有重要意義。以二能級量子系統(tǒng)（量子比特，qubit）為例，其量子態(tài)空間可由三維歐幾里得空間中的單位球來描述，也即著名的Bloch球。因此，量子信息處理中對qubit量子態(tài)的制備、演化及測量都可在Bloch球中實現(xiàn)可視化的幾何描述。然而，對于更高維量子系統(tǒng)，其量子態(tài)空間結構更加復雜，很難進行直觀揭示并研究其幾何性質(zhì)。目前對三能級量子系統(tǒng)（qutrit）的幾何性質(zhì)尚且缺乏理解，這也制約了對高維度量子信息處理技術的進一步研究和利用。

為此，研究團隊考慮通過三個不同的可觀測量，將三能級量子系統(tǒng)的態(tài)空間投影到三維歐幾里得空間（測量結果空間）來構造對應的幾何體，從而研究超越單量子比特的高維量子系統(tǒng)幾何特性。這一方法構造的幾何體在數(shù)學上對應可觀測量測量結果平均值的集合，也被稱為算符的聯(lián)合數(shù)值域（Joint Numerical Range, JNR）。矩陣的數(shù)值域（Numerical Range, NR）這一概念最早于1918年被提出，近年來這一數(shù)學概念被廣泛應用于量子相變、量子糾錯及量子糾纏判據(jù)、量子不確定關系等研究中。聯(lián)合數(shù)值域的分類問題在數(shù)學上被認為極具挑戰(zhàn)性，2018年，數(shù)學家成功解決了qutrit三維聯(lián)合數(shù)值域（qutrit態(tài)空間的三維投影）的分類問題，根據(jù)聯(lián)合數(shù)值域表面的橢圓數(shù)量（e）和線段數(shù)量（s）將其分為8類。

在實驗上，研究團隊利用線性光學手段對單光子多自由度調(diào)控，構建了基于光學線路的三能級系統(tǒng)通用計算平臺，實現(xiàn)了對不同可觀測量的測量，從而對qutrit態(tài)空間三維投影的所有可能幾何特征進行了觀測（圖1）。通過對聯(lián)合數(shù)值域表面進行數(shù)據(jù)采樣，該團隊首次在實驗上觀測了超越量子比特系統(tǒng)的幾何特征分類，揭示了高維度量子系統(tǒng)更加復雜的幾何結構，發(fā)展了對高維度量子系統(tǒng)新的研究工具，有望促進高維量子系統(tǒng)在量子信息處理中的應用。

此外，該研究團隊還闡釋了聯(lián)合數(shù)值域表面的幾何特征與系統(tǒng)基態(tài)簡并之間的內(nèi)在聯(lián)系。對每一類聯(lián)合數(shù)值域，其表面態(tài)對應于三個算符線性組合構成的哈密頓量的系統(tǒng)基態(tài)，而其幾何特征（橢圓及線段）對應于系統(tǒng)哈密頓量的簡并點，由實驗測量結果計算得到的系統(tǒng)能量與哈密頓量基態(tài)能量的理論值呈現(xiàn)很好的符合（圖2）。其中橢圓對應哈密頓量的錐形簡并，而線段則對應于Λ形簡并，基態(tài)能量只沿某個特定參數(shù)方向不連續(xù)。在熱力學極限下，量子系統(tǒng)的基態(tài)簡并與量子相變密切相關。因此，聯(lián)合數(shù)值域構成的幾何體也可被看作是系統(tǒng)量子相的幾何表示，可用于研究高維量子系統(tǒng)的基態(tài)簡并、對稱性破缺等量子特性。因此，該工作也為探索量子系統(tǒng)性質(zhì)提供了一種有效的幾何方法。

該研究得到國家重點研發(fā)計劃、國家自然科學基金、中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金等項目資助以及南京大學人工微結構科學與技術協(xié)同創(chuàng)新中心、固體微結構物理國家重點實驗室等平臺的大力支持。



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