圖1 三能級(jí)量子系統(tǒng)的聯(lián)合數(shù)值域?qū)嶒?yàn)觀測(cè)結(jié)果。（a-h）分別為8類(lèi)不同的三能級(jí)量子系統(tǒng)態(tài)空間投影結(jié)果，也即聯(lián)合數(shù)值域。紅色點(diǎn)代表實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，e和s分別刻畫(huà)了幾何體表面的橢圓面數(shù)量及線段數(shù)量。

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圖2 8類(lèi)具有不同幾何特征的可觀測(cè)量組成對(duì)應(yīng)系統(tǒng)哈密頓量的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)能級(jí)結(jié)構(gòu)圖。

近日，南京大學(xué)現(xiàn)代工程與應(yīng)用科學(xué)學(xué)院教授張利劍課題組與香港科技大學(xué)教授曾蓓、美國(guó)愛(ài)荷華州立大學(xué)教授潘耀東、香港理工大學(xué)教授施能圣等合作，首次在實(shí)驗(yàn)上對(duì)三能級(jí)量子系統(tǒng)幾何特性進(jìn)行了完整觀測(cè)。研究成果發(fā)表于《物理評(píng)論快報(bào)》。

幾何是人們理解物理世界的一種重要方法。隨著量子物理學(xué)的發(fā)展，幾何方法已成為觀測(cè)量子系統(tǒng)非經(jīng)典行為和奇異特性的工具，因此對(duì)量子系統(tǒng)的幾何特性的研究，無(wú)論是對(duì)量子力學(xué)基礎(chǔ)研究還是量子信息處理應(yīng)用都具有重要意義。以二能級(jí)量子系統(tǒng)（量子比特，qubit）為例，其量子態(tài)空間可由三維歐幾里得空間中的單位球來(lái)描述，也即著名的Bloch球。因此，量子信息處理中對(duì)qubit量子態(tài)的制備、演化及測(cè)量都可在Bloch球中實(shí)現(xiàn)可視化的幾何描述。然而，對(duì)于更高維量子系統(tǒng)，其量子態(tài)空間結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，很難進(jìn)行直觀揭示并研究其幾何性質(zhì)。目前對(duì)三能級(jí)量子系統(tǒng)（qutrit）的幾何性質(zhì)尚且缺乏理解，這也制約了對(duì)高維度量子信息處理技術(shù)的進(jìn)一步研究和利用。

為此，研究團(tuán)隊(duì)考慮通過(guò)三個(gè)不同的可觀測(cè)量，將三能級(jí)量子系統(tǒng)的態(tài)空間投影到三維歐幾里得空間（測(cè)量結(jié)果空間）來(lái)構(gòu)造對(duì)應(yīng)的幾何體，從而研究超越單量子比特的高維量子系統(tǒng)幾何特性。這一方法構(gòu)造的幾何體在數(shù)學(xué)上對(duì)應(yīng)可觀測(cè)量測(cè)量結(jié)果平均值的集合，也被稱(chēng)為算符的聯(lián)合數(shù)值域（Joint Numerical Range, JNR）。矩陣的數(shù)值域（Numerical Range, NR）這一概念最早于1918年被提出，近年來(lái)這一數(shù)學(xué)概念被廣泛應(yīng)用于量子相變、量子糾錯(cuò)及量子糾纏判據(jù)、量子不確定關(guān)系等研究中。聯(lián)合數(shù)值域的分類(lèi)問(wèn)題在數(shù)學(xué)上被認(rèn)為極具挑戰(zhàn)性，2018年，數(shù)學(xué)家成功解決了qutrit三維聯(lián)合數(shù)值域（qutrit態(tài)空間的三維投影）的分類(lèi)問(wèn)題，根據(jù)聯(lián)合數(shù)值域表面的橢圓數(shù)量（e）和線段數(shù)量（s）將其分為8類(lèi)。

在實(shí)驗(yàn)上，研究團(tuán)隊(duì)利用線性光學(xué)手段對(duì)單光子多自由度調(diào)控，構(gòu)建了基于光學(xué)線路的三能級(jí)系統(tǒng)通用計(jì)算平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)不同可觀測(cè)量的測(cè)量，從而對(duì)qutrit態(tài)空間三維投影的所有可能幾何特征進(jìn)行了觀測(cè)（圖1）。通過(guò)對(duì)聯(lián)合數(shù)值域表面進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣，該團(tuán)隊(duì)首次在實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)了超越量子比特系統(tǒng)的幾何特征分類(lèi)，揭示了高維度量子系統(tǒng)更加復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)，發(fā)展了對(duì)高維度量子系統(tǒng)新的研究工具，有望促進(jìn)高維量子系統(tǒng)在量子信息處理中的應(yīng)用。

此外，該研究團(tuán)隊(duì)還闡釋了聯(lián)合數(shù)值域表面的幾何特征與系統(tǒng)基態(tài)簡(jiǎn)并之間的內(nèi)在聯(lián)系。對(duì)每一類(lèi)聯(lián)合數(shù)值域，其表面態(tài)對(duì)應(yīng)于三個(gè)算符線性組合構(gòu)成的哈密頓量的系統(tǒng)基態(tài)，而其幾何特征（橢圓及線段）對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)哈密頓量的簡(jiǎn)并點(diǎn)，由實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果計(jì)算得到的系統(tǒng)能量與哈密頓量基態(tài)能量的理論值呈現(xiàn)很好的符合（圖2）。其中橢圓對(duì)應(yīng)哈密頓量的錐形簡(jiǎn)并，而線段則對(duì)應(yīng)于Λ形簡(jiǎn)并，基態(tài)能量只沿某個(gè)特定參數(shù)方向不連續(xù)。在熱力學(xué)極限下，量子系統(tǒng)的基態(tài)簡(jiǎn)并與量子相變密切相關(guān)。因此，聯(lián)合數(shù)值域構(gòu)成的幾何體也可被看作是系統(tǒng)量子相的幾何表示，可用于研究高維量子系統(tǒng)的基態(tài)簡(jiǎn)并、對(duì)稱(chēng)性破缺等量子特性。因此，該工作也為探索量子系統(tǒng)性質(zhì)提供了一種有效的幾何方法。

該研究得到國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃、國(guó)家自然科學(xué)基金、中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金等項(xiàng)目資助以及南京大學(xué)人工微結(jié)構(gòu)科學(xué)與技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心、固體微結(jié)構(gòu)物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室等平臺(tái)的大力支持。



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